Главная » ВПР 8 класс » ВПР по математике 8 класс 2018 Вариант 3

ВПР по математике 8 класс 2018 Вариант 3

ВПР по математике за 8 класс 2018 года А.Р. Рязановский, Д.Г. Мухин — Вариант 3

При написании данной работы «ВПР по математике 8 класс 2018 Вариант 3» было использовано пособие «Всероссийская Проверочная Работа. Математика. 8 класс. Практикум. ФГОС. А.Р. Рязановский, Д.Г. Мухин. 2018 год (20 вариантов)«.

Часть 1

В заданиях 1-9 дайте ответ в виде целого числа, десятичной дроби или последовательности цифр.


  1. Найдите значение выражения -(x 5)-7 · 5x36, если x = -5
Показать решение
Решение:

Вспомним, что при возведении степень в степень — степени умножаются. А при умножении одинаковых оснований степени складываются.

-(x 5)-7 · 5x36 = -x (-7) · 5x36 = -x -35 · 5x36 =-5x-35+36 = -5x1 = -5x = -5 · (-5) = 25

Ответ:

25


  1. Найдите значение выражения:

    \[ 2\sqrt{16} - \sqrt{3} * \sqrt{27} \]

Показать решение
Решение:

    \[ 2\sqrt{16} - \sqrt{3} * \sqrt{27} = 2 * 4 - \sqrt{3 * 27} = 8 - \sqrt{81} = 8 - 9 = -1 \]

Ответ:

-1


3.1 Найдите сумму корней уравнения x2 + 9x — 10 = 0

Показать решение
Решение:

Для решения данного уравнения воспользуемся Теоремой Виета:

ax2 + bx + c = 0;   D≥ 0;   x1 + x2 = -b/a  

значит,

x2 + 9x — 10 = 0

здесь a = 1, b = 9

Искомая сумма корней уравнения равна:

x1 + x2 = -b/a = -9 : 1= -9

Ответ:

-9


3.2 Найдите наибольший корень уравнения 5x3 + 6x2 + x = 0

Показать решение
Решение:

Для решения данного уравнения вынесем х за скобки:

5x3 + 6x2 + x = 0

x (5x2 + 6x + 1) = 0   или x = 0 — один из возможных корней уравнения

Теперь найдем чему равен дискриминант (Дискриминант D квадратного трёхчлена ax2 + bx + c равен b2 — 4ac.)

5x2 + 6x + 1

здесь a = 5, b = 6, c = 1

D = b2 — 4ac = 62 — 4 * 5 * 1 = 36 — 20 = 16

мы помним, что общая формула для нахождения корней квадратного уравнения

    \[ x_1_,_2 = \frac{-b \pm  \sqrt{D}}{2a} \]

    \[ x_1 = \frac{-b +  \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 +  \sqrt{16}}{2 * 5} =  \frac{-6 + 4}{10} = \frac{-2}{10} = \frac{-1}{5} \]

    \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{16}}{2 * 5} =  \frac{-6 - 4}{10} = \frac{-10}{10} =  -1 \]

Наибольшим корнем из полученных является х = 0 (самый первый корень — см. в начале )

Ответ:

х1 = 0


  1. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С проведена средняя линия MN, параллельная катету AC. Найдите длину MN, если CB = √21 , AB = 11

VPR-mat-8-klass-2018-Ryazanovskiy-1-variant-01

Показать решение
Решение:

Дано:

AB = 11

CB = √21

Свойство средней линии: Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. В нашей задаче это стороны АВ и CB.

Из этого следует:

CN = NB = √21 : 2

AM = MB = 11 : 2 = 5,5

Известно, что средняя линия (MN) треугольника параллельна одной из его сторон (АС) и равна половине этой стороны (АС).
Следует, что ΔMNB — прямоугольный, а его катет MN является средней линией ΔАВС.

Нам следует найти катет MN по теореме Пифагора:

В прямоугольном треугольнике, длины катетов которого равны a  и b , а длина гипотенузы — c, выполняется условие: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

    \[ a^2 + b^2 = c^2 \]

    \[ MN^2 + NB^2 = MB^2 \]

Отсюда найдем MN

    \[ MN^2 = MB^2 - NB^2 = 5,5^2 - (\sqrt{21} : 2)^2 \]

    \[ MN = \sqrt{5,5^2 - (\sqrt{21} : 2)^2} \]

    \[ MN = \sqrt{30,25 - (21 : 4)} \]

    \[ MN = \sqrt{30,25 - 5,25} =  \sqrt{25} = 5 \]

Длина катета MN =  5

Ответ:

5


  1. Выберите верные утверждения:
    1. Сумма углов ромба, прилежащих к одной и той же стороне равна 1800
    2. В любом прямоугольнике диагонали перпендикулярны.
    3. Хорда, делящая диаметр пополам, сама является диаметром.
    4. Если углы равны, то они вертикальные.
Показать решение
Решение:
  1. Верно. Это одно из свойств ромба (или параллелограмма).
  2. Неверно. Диагонали перпендикулярны только у квадрата.
  3. Верно. Хорда, делящая диаметр пополам проходит через центр окружности. Если хорда проходит через центр окружности, то эта хорда является диаметром.
  4. Неверно.
Ответ:

1, 3


6.1 В классе 28 учеников, 7 из которых — мальчики. Учитель попросил ученика Н принести ключ от кабинета. Найди вероятность того, что Н — девочка.

Показать решение
Решение:

Отношение общего количества учеников (28) к количеству мальчиков (7) составляет вероятность того, что за ключом пойдет мальчик:

7 : 28 = 0,25 — вероятность того, что за ключом пойдет мальчик

Известно, что сумма всех вероятностей = 1, тогда получим

1 — 0,25 = 0,75 — вероятность того, что за ключом пойдет девочка

Ответ:

0,75


6.2 Вася стоит на автобусной остановке. Там останавливаются автобусы маршрутов А и Б, причём Васе подходит только один из них. Вероятность того, что придёт нужный автобус, равна 0,7. Найдите вероятность того, что хотяб один из двух ближайших автобусов подходит Васе.

Показать решение
Решение:

Известно, что все противоположные события образуют группу событий, сумма вероятностей которых = 1.

Для каждого автобуса существует две вероятности:

  • что это нужный Васе автобус и данная вероятность по условию задачи = 0,7
  • что это не нужный Васе автобус

Найдем для каждого автобуса вероятность того, что он окажется не тем, который нужен Васе:

Автобус А: 1 — 0,7 = 0,3

Автобус Б: 1 — 0,7 = 0,3

Если брать оба автобуса вместе, то по правилу произведения событий «Подойдет не нужный автобус» получим:

0,3 * 0,3 = 0,09 — вероятность того, что первым подъедет не нужный Васе автобус

Теперь же найдем искомую вероятность:

1 — 0,09 = 0,91 — вероятность того, что хотяб один из двух ближайших автобусов подходит Васе

Ответ:

0,91


  1. У дедушки на даче несколько вёдер объёмом 5 л и 14 л. Каким может быть объём бочки, которую дедушка может наполнить до краёв без переполнения бочки, налив 11 полных вёдер?
    1. 50 л
    2. 100 л
    3. 110 л
    4. 130 л
Показать решение
Решение:

Минимальный возможный объём бочки:

5 * 11 = 55 (л)

Максимально возможный объём бочки:

14 * 11 = 154 (л)

Итак, дед может заполнить 11 вёдрами бочку объёмом от 55 до 154 литров.

Как же нам быстро найти правильный ответ?

Все предложенные варианты ответов имеют на конце 0. По условию задачи мы имеем два ведра объёмом 5 л и 14 л.

Для начала давайте подберём такое число, при умножении на которое 14 л давало бы на конце 0 или 5. Ближайшая от нуля цифра — 5

14 * 5 = 70

Мы истратили 5 из 11 ведер на 14 литровое ведро. Осталось 11 — 5 = 6 для 5 литровых вёдер. Проверим:

6 * 5 = 30

70 + 30 = 100 (л)

Чтобы наполнить 100 литровую бочку деду понадобится 5 14-литровых ведер и 6 5-литровых.

Правильный ответ 2

Ответ:

2


  1. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ:

VPR-mat-8-klass-2018-Ryazanovskiy-3-variant-02

ФОРМУЛЫ:

  1. y = x
  2. y = x2 + 2x — 3
  3. y = -4/x

Запишите в ответ выбранные цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А Б В

Для удобства, воспользуйтесь инструментом построения графиков онлайн на нашем сайте

Показать решение
Решение:
  1. y = х — уравнение прямой
  2. y = x2 + 2x — 3 — уравнение параболы
  3. y = -4/x — уравнение гиперболы, при положительных x, y — будет тоже отрицательным; при отрицательном x, y — будет тоже положительным (график лежит в 2 и 4 четверти)

Даже без вычислений можно сказать, что

  • y = x — соответсвует 4-му графику (уравнение прямой)
  • y = x2 + 2x — 3 — соответсвует 1-му графику (уравнение параболы)
  • y = -4/x — соответсвует 2-му графику (уравнение гиперболы)

При необходимости можно сделать несколько контрольных вычислений:

Функция y = x

x1 = -4,  x2 = -1, x3 = 1, x4 = 4

y1 = -4, y2 = -1, y3 = 1, y4 = 4

Сравним с графиком контрольные значения, получим соответствие с графиком 4

Функция y = x2 + 2x — 3

x1 = -4,  x2 = -1, x3 = 1, x4 = -3

y1 = 5, y2 = -4, y3 = 0, y4 = 0

Сравним с графиком контрольные значения, получим соответствие с графиком 1

Функция y = y = -4/x

x1 = -4,  x2 = -1, x3 = 1, x4 = 4

y1 = 1, y2 = -4, y3 = -4, y4 = -1

Сравним с графиком контрольные значения, получим соответствие с графиком 2

  • Графику функции 4 соответствует формула 1 (А)
  • Графику функции 1 соответствует формула 2 (Б)
  • Графику функции 2 соответствует формула 3 (В)
Ответ:
А Б В
4 1 2

  1. Анатолий подошёл к расписанию автобусов в 8:28 в посёлке Городище. Ему нужно доехать до станции Осиное. Сколько минут ему придётся ждать до отправления первого автобуса, который останавливается на станции Осиное?

VPR-mat-8-klass-2018-Ryazanovskiy-1-variant-03

Показать решение
Решение:

Так как Анатолий подошёл в 8:28, то необходимо смотреть только те автобусы, которые отправляются после 8:28.

Первый автобус отправляется в 8:45 и идет до конечной станции Глубокое — эта ветка не проходит через станцию Осиное.

Второй автобус отправляется в 9:00 и идет до конечной станции Островский — эта ветка не проходит через станцию Осиное

Третий автобус отправляется в 9:11 и идет до конечной станции Космодемьянск — эта ветка проходит через станцию Осиное и делает на ней остановку.

9:11 — 8:28 = 0:43 (мин) — придется ждать до отправления

Ответ:

43 минуты


Часть 2


  1. Мобильный телефон стоил 3500 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 2800 рублей. На сколько процентов была снижена цена?
Показать решение
Решение:

По условию:

  • товар стоил 3500 р
  • товар стал стоить 2800 р

3500 — 2800 = 700 (р) — на сколько рублей снижена цена

3500 р — 100%

Найдем чему равен 1%

3500 : 100 = 35 (р)

Теперь узнаем на сколько процентов была снижена цена:

700 / 35 = 20%

Ответ:

20


  1. Расположите числа в порядке возрастания: √61; √(7,9)2; 4√5; 6√2; 7,8. Обоснуйте ответ.
Показать решение
Решение:

Представим 4√5 в другом виде 4 = √16, тогда:

√16 * √5 = √16 * 5 = √80

Теперь представим 6√2 в другом виде: 6 = √36, тогда:

√36 * √2 = √36 * 2 = √72

Получаем:

√61 < √72 < √80

Преобразуем √(7,9)2 в другом виде:

√(7,9)2 = √62,41

Преобразуем 7,8 в другом виде:

7,8 = √(7,8)2 = √60,84

Теперь можем расставить все числа по порядку:

√60,84 (7,8) < √61< √62,41 (√(7,9)2) < √72 (6√2) < √80 (4√5 )

Всё просто без особых вычислений.

Ответ:

7,8 < √61< √(7,9)2 < 6√2 < 4√5


12.1 Биссектриса угла ∠BAD параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке N, а прямую CD в точке M. Известно, периметр параллелограмма ABCD равен 130 и BN : NC = 5 : 3. Найдите длину отрезка DM.

Показать решение
Решение:

VPR-mat-8-klass-2018-Ryazanovskiy-3-variant-03

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  • Биссектриса по определению делит угол пополам
  • Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник
    • в данном примере биссектриса угла ∠BAD (AN) отсекает равнобедренный треугольник ABN

Так как противоположные стороны параллелограмма равны AB || CD, то имеем

AB = BN = CD = a

AD = BC = b

Известно, что периметр равен:

PABCD = 2a + 2b = 2 (a + b) = 130, отсюда a + b = 130 / 2 = 65

Треугольники ∠АВN и ∠CMN подобны.

Определение: Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Учитывая пропорциональность сторон, получаем:

AB / MC = BN / NC = 5 / 3

Так как AB = CD, то

CD / MC = 5 / 3

Из этой формулы найдем чему равен MC

MC = CD : 5/3 = CD * 3/5 = CD * 0,6 = 0,6CD = 0,6a

Треугольники AMD и NMC подобны, поскольку: прямая (NC), параллельная стороне треугольника (AD), отсекает от него треугольник, подобный данному.

Учитывая пропорциональность сторон, получаем:

NC / AD = MC / MD

где

  • NC = BC — BN = b — a
  • MC = 0,6a
  • AD = b
  • MD = CD + MC = a + 0,6a

Подставляя, получим:

NC / AD = MC / MD

(b — a) / b = 0,6a / (a + 0,6a)

(b — a) / b = 0,6a / 1,6a

(b — a) / b = 0,6 / 1,6 = 0,375

Получаем систему уравнений

{ a + b = 65
{ (b — a) / b = 0,375

Найдем чему равно а из первого уравнения

a + b = 65

a = 65 — b

Подставим полученный результат во второе уравнение:

(b — (65 — b)) / b = 0,375

(b — 65 + b) / b = 0,375

(2b — 65) / b = 0,375

2b / b — 65 / b = 0,375

2 — 65/b = 0,375

-65 / b = 0,375 — 2 = -1,625

65 / b = 1,625

b = 65 / 1,625 = 40

a = 65 — 40 = 25

Отсюда

MD = a + 0,6a = 25 + 0,6 * 25 = 40

Ответ:

40


12.2 Медианы AM и BN треугольника ABC пересекаются в точке P. Известно, что AB = CP = 4. Кроме того, угол ∠PAB равен 30°. Найдите длину отрезка PM.

Показать решение
Решение:

VPR-mat-8-klass-2018-Ryazanovskiy-3-variant-04

ОпределениеМедиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Отсюда и по условию задачи имеем:

BM = MC
AN = NC
AB = CP = 4
AD = DB = AB / 2 = 4 / 2 = 2
∠PAB = 30°

Определение: Медианы треугольника делятся точкой их пересечения (P) в отношении 2/1

Отсюда

CP / PD = 2/1, найдем из этой формулы чему равен PD

PD = CP : 2/1 = 4 : 2/1 = 2

По определению меридиан имеем:

AB / 2 = AD = 4 / 2 = 2

Рассмотрим треугольник ADP. Что нам о нём известно. А известно нам о нём очень много:

  • стороны AD и DP треугольника ADP равны AD = PD = 2
  • Угол ∠HAD = ∠PAB = 30°
  • учитывая выше сказанное, перед нами равнобедренный треугольник

Свойства равнобедренного треугольника:

  • Равнобедренным называется треугольник у которого две стороны равны.
  • Если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны.
  • В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из вершины, противолежащей основанию, совпадают.

Перечисленные свойства дают нам основание утверждать, что AH = HP = PM.

Кроме того, треугольник ADH прямоугольный.

Определение: Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы. Т.е.

DH = AD / 2 = 2 / 2 = 1

Нам известны величины одного катета и гипотенузы прямоугольного треугольника. С помощью теоремы Пифагора найдем чему равен второй катет.

a2 + b2 = c2

AH2 + DH2 = AD2

AH2 = AD2 — DH2

AH2 = 22 — 12 = 4 — 1 = 3

AH = √3

AH = HP = PM = √3

Ответ:

√3


  1. Два насоса наполняют бассейн за 15 часов, причём за 5 часов первый насос наполняет бассейн на такую его часть, которую второй насос наполняет за 7 часов. За какое число часов один второй насос сможет полностью наполнить бассейн?
Показать решение
Решение:

Введем значения:

x — время заполнения бассейна первым насосом

y — время заполнения бассейна вторым насосом

1 — примем весь объем бассейна

По условию задачи имеем:

1/x + 1/y = 1/15 — объём заполняемый обоими насосами за 1 час

Также в условии говорится, что за 5 часов первый насос наполняет бассейн на такую его часть, которую второй насос наполняет за 7 часов. Получаем равенство

x/5 = y/7

Найдем из этого равенства значение x

x/5 = y/7

x = y/7 * 5 = 5y/7

Подставим полученный результат в первую формулу:

1/x + 1/y = 1/15

1 : 5y/7 + 1/y = 1/15

7/5у + 1/у = 1/15

Приведём к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель второй дроби на 5:

7/5у + 5/5у = 1/15

12/5у = 1/15

5y = 12 : 1/15 = 12 * 15 = 180

y = 180 : 5 = 36

Второй насос самостоятельно наполнит весь бассейн за 36 часов.

Ответ:

36 часов


14.1 При каких значениях параметра b уравнение 4x2 — bx + 9 = 0 имеет ровно один корень? Для каждого значения параметра b укажите соответсвующий корень уравнения.

Показать решение
Решение:

Корни квадратного уравнения зависят от знака дискриминанта (D): уравнение имеет 1 корень (или же 2 совпадающих вещественных корня) при D = 0. Значит,

D = b2 — 4ac = 0

b2 — 4ac = 0 (из условия имеем квадратное уравнение в котором a=4, c=9)

b2 — 4 * 4 * 9 = 0

b2 — 144 = 0

b2 = 144

b = √144 = 12

b= 12; b= -12

  1. Решим уравнение при b = 12

4x2 — bx + 9 = 0

4x2 — 12x + 9 = 0

(2x — 3)2 = 0

2x — 3 = 0

2x = 3

x = 3 / 2 = 1,5

Для значения параметра b = 12, корень уравнения будет x = 1,5

  1. Решим уравнение при b = -12

4x2 — bx + 9 = 0

4x2 — (-12)x + 9 = 0

4×2 + 12x + 9 = 0

(2x + 3)2 = 0

2x + 3 = 0

2x = -3

x = -3 / 2 = -1,5

Для значения параметра b = -12, корень уравнения будет x = -1,5

Ответ:

при b= 12, x = 1,5

при b= -12, x = -1,5


14.2 При каких значениях параметра a уравнение x3 + 2ax2 + 9x = 0 имеет ровно два корня? Для каждого значения параметра a укажите соответсвующие корни уравнения.

Показать решение
Решение:

x3 + 2ax2 + 9x = 0

x * (x2 + 2ax + 9) = 0

Из полученного уравнения получаем первый корень уравнения при любых а, x = 0

В процессе решения. Если у вас есть готовое решение, мы его с радостью опубликуем.

Ответ:

При a = 3, x = 0, x = -3.

При a = -3, x = 0, x = 3.