Главная » ВПР 8 класс » ВПР по математике 8 класс 2018 Вариант 2

ВПР по математике 8 класс 2018 Вариант 2

ВПР по математике за 8 класс 2018 года А.Р. Рязановский, Д.Г. Мухин — Вариант 2

При написании данной работы «ВПР по математике 8 класс 2018 Вариант 2» было использовано пособие «Всероссийская Проверочная Работа. Математика. 8 класс. Практикум. ФГОС. А.Р. Рязановский, Д.Г. Мухин. 2018 год (20 вариантов)«.

Часть 1

В заданиях 1-9 дайте ответ в виде целого числа, десятичной дроби или последовательности цифр.


  1. Найдите значение выражения (x -3)4 · 4x13, если x = 4
Показать решение
Решение:

Вспомним, что при возведении степень в степень — степени умножаются. А при умножении одинаковых оснований степени складываются.

(x -3)4 · 4x13 = x -3·4 · 4x13 = x -12 · 4x13 =4x-12+13 = 4x1 = 4x = 4 · 4 = 16

Ответ:

16


  1. Найдите значение выражения:

    \[ 3\sqrt{25} + \sqrt{2} * \sqrt{8} \]

Показать решение
Решение:

    \[ 3\sqrt{25} + \sqrt{2} * \sqrt{8} = 3 * 5 + \sqrt{2 * 8} = 15 + \sqrt{16} = 15 + 4 = 19 \]

Ответ:

19


3.1 Найдите произведение корней уравнения x2 — 7x + 6 = 0

Показать решение
Решение:

Для решения данного уравнения воспользуемся Теоремой Виета:

ax2 + bx + c = 0;   D≥ 0;   x1 · x2 = с/a  

значит,

x2 — 7x + 6 = 0

здесь a = 1, c = 6

Искомое произведение корней уравнения равно:

x1 · x2 = с/a = 6 : 1= 6

Ответ:

6


3.2 Найдите наибольший корень уравнения 3x3 + 4x2 — 7x = 0

Показать решение
Решение:

Для решения данного вынесем х за скобки:

3x3 + 4x2 — 7x = 0

x (3x2 + 4x — 7) = 0   или x = 0

Теперь найдем чему равен дискриминант (Дискриминант D квадратного трёхчлена ax2 + bx + c равен b2 — 4ac.)

3x2 + 4x — 7

здесь a = 3, b = 4, c = -7

D = b2 — 4ac = 42 — 4 * 3 * (-7) = 16 + 84 = 100

мы помним, что общая формула для нахождения корней квадратного уравнения

    \[ x_1_,_2 = \frac{-b \pm  \sqrt{D}}{2a} \]

    \[ x_1 = \frac{-b +  \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 +  \sqrt{100}}{2 * 3} =  \frac{-4 + 10}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]

    \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 * 3} =  \frac{-4 - 10}{6} = \frac{-14}{6} =  \frac{-7}{7} \]

Наибольшим корнем из полученных является х1 = 1

Ответ:

х1 = 1


  1. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С проведена средняя линия MN, параллельная катету AC. Найдите длину MN, если

    \[ AB = \sqrt{106} , BC = 9 \]

VPR-mat-8-klass-2018-Ryazanovskiy-1-variant-01

Показать решение
Решение:

Дано:

AB = √106

BC = 9

Свойство средней линии: Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. В нашей задаче это стороны АВ и ВС.

Из этого следует:

CN = NB = 9 : 2 = 4,5

AM = MB = √106 : 2

Известно, что средняя линия (MN) треугольника параллельна одной из его сторон (АС) и равна половине этой стороны (АС).
Следует, что ΔMNB — прямоугольный, а его катет MN является средней линией ΔАВС.

Нам следует найти катет MN по теореме Пифагора:

В прямоугольном треугольнике, длины катетов которого равны a  и b , а длина гипотенузы — c, выполняется условие: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

    \[ a^2 + b^2 = c^2 \]

    \[ MN^2 + NB^2 = MB^2 \]

Отсюда найдем MN

    \[ MN^2 = MB^2 - NB^2 = (\sqrt{106} : 2)^2 - 4,5^2} \]

    \[ MN = \sqrt{( \sqrt{106} : 2)^2 - 4,5^2} \]

    \[ MN = \sqrt{(106 : 4) - 20,25} \]

    \[ MN = \sqrt{26,5 - 20,25} =  \sqrt{6,25} = 2,5 \]

Длина катета MN =  2,5

Ответ:

2,5


  1. Выберите верные утверждения:
    1. Сумма углов трапеции, прилежащих к большему основанию, не может быть равна 1800
    2. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой.
    3. Существует четырёхугольник с четырьмя тупыми углами.
    4. Если хорды в окружности перпендикулярны, то они равно удалены от её центра.
Показать решение
Решение:
  1. Верно. Правильно — сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°, но сумма углов трапеции, прилежащих к большему основанию, не может быть равна 180°
  2. Верно. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой.
  3. Неверно.
  4. Неверно.
Ответ:

1, 2


6.1 В программе по геометрии 40 вопросов, из которых 6 на тему «Подобие». Тося случайно выбрала билет. Какова вероятность того, что в билете есть вопрос о подобии?

Показать решение
Решение:

Отношение общего количества вопросов (40) к впоросам на тему «Подобие» (6) и будет искомой величиной:

6 : 40 = 0,15 — вероятность того, что вопрос о подобии в билете есть

Ответ:

0,15


6.2 В торговом центре 3 кофейных автомата. Для каждого из них вероятность того, что к концу дня в нём есть кофе, равна 0,5. Найдите вероятность того, что кофе нет ни в одном автомате.

Показать решение
Решение:

Способ 1:

Известно, что все противоположные события образуют группу событий, сумма вероятностей которых = 1.

Для каждого кофейного аппарата существует две вероятности:

  • что к концу дня в нём есть кофе и данная вероятность по условию задачи = 0,5
  • что к концу дня в нём нет кофе

В таком случае вероятность отсутствия кофе к концу дня в отдельности для каждого автомата равна:

Первый кофейный автомат: 1 — 0,5 = 0,5

Второй кофейный автомат: 1 — 0,5 = 0,5

Третий кофейный автомат: 1 — 0,5 = 0,5

Если брать все кофейные аппараты вместе, то по правилу произведения событий «Кофе нет ни в одном аппарате» получим:

0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125 — вероятность отсутствия кофе во всех аппаратах

Способ 2:

Определение: Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу

P(A) = m/n

Давайте посчитаем с вами все возможные события, которые могут произойти с 3 кофейными аппаратами:

— — —
— — +
— + —
+ — —
— + +
+ — +
+ + —
+ + +

Где (+-) — это наличие или отсутсвие кофе в аппарате к концу дня

В нашем случае существует всего 8 всех равновозможных несовместных элементарных исходов.

Случаев, когда кофе нет ни в одном автомате = 1.

Получаем:

P(A) = m/n = 1/8 = 0,125

Ответ:

0,125


  1. У дедушки на даче несколько вёдер объёмом 10 л и 12 л. Каким может быть объём бочки, которую дедушка может наполнить до краёв без переполнения бочки, налив 9 полных вёдер?
    1. 50 л
    2. 100 л
    3. 110 л
    4. 130 л
Показать решение
Решение:

Минимальный возможный объём бочки:

10 * 9 = 90 (л)

Максимально возможный объём бочки:

12 * 9 = 108 (л)

Итак, дед может заполнить 9 вёдрами бочку объёмом от 90 до 108 литров.

Единственный объём, который удовлетворяет полученным значение = 100 л.

Ответ:

2


  1. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ:

VPR-mat-8-klass-2018-Ryazanovskiy-2-variant-02

ФОРМУЛЫ:

  1. y = 8/x
  2. y = -8/x
  3. y = 1/8x
  4. y = -1/8x

Запишите в ответ выбранные цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А Б В

Для удобства, воспользуйтесь инструментом построения графиков онлайн на нашем сайте

Показать решение
Решение:
  1. y = 8/x — уравнение гиперболы, при положительных x, y — будет тоже положительный; при отрицательном x, y — будет тоже отрицательным (график лежит в 1 и 3 четверти)
  2. y = -8/x — уравнение гиперболы, при положительных x, y — будет отрицательный; при отрицательном x, y — будет тоже отрицательным (график лежит в 2 и 4 четверти)
  3. y = 1/8x — уравнение гиперболы, при положительных x, y — будет тоже положительный; при отрицательном x, y — будет тоже отрицательным (график лежит в 1 и 3 четверти)
  4. y = -1/8x — уравнение гиперболы, при положительных x, y — будет отрицательный; при отрицательном x, y — будет тоже отрицательным (график лежит в 2 и 4 четверти)

Мы выяснили, что все графики гиперболы, поэтому здесь необходимо сделать несколько контрольных вычислений:

Функция y = 8/x

x1 = -4,  x2 = -1, x3 = 1, x4 = 4

y1 = -2, y2 = -8, y3 = 8, y4 = 2

Сравним с графиком контрольные значения, получим соответствие с графиком Б

Функция y = -8/x

x1 = -4,  x2 = -1, x3 = 1, x4 = 4

y1 = 2, y2 = 8, y3 = -8, y4 = -2

Сравним с графиком контрольные значения, получим соответствие с графиком В

Функция y = 1/8x

x1 = -4,  x2 = -1, x3 = 1, x4 = 4

y1 = -1/32, y2 = -1/8, y3 = 1/8, y4 = 1/32

Данная формула не соответсвует ни одному из приведенных графиков

Функция y = -1/8x

x1 = -4,  x2 = -1, x3 = 1, x4 = 4

y1 = 1/32, y2 = 1/8, y3 = -1/8, y4 = -1/32

Сравним с графиком контрольные значения, получим соответствие с графиком А

  • Графику функции А соответствует формула 4
  • Графику функции Б соответствует формула 1
  • Графику функции В соответствует формула 2
Ответ:
А Б В
4 1 2

  1. Анатолий подошёл к расписанию автобусов в 8:18 в посёлке Городище. Ему нужно доехать до станции Лыжное. Сколько минут ему придётся ждать до отправления первого автобуса, который останавливается на станции Лыжное?

VPR-mat-8-klass-2018-Ryazanovskiy-1-variant-03

Показать решение
Решение:

Так как Анатолий подошёл в 8:18, то необходимо смотреть только те автобусы, которые отправляются после 8:18.

Первый автобус отправляется в 8:23 и идет до конечной станции Топь — эта ветка не проходит через станцию Лыжное.

Второй автобус отправляется в 8:45 и идет до конечной станции Глубокое — эта ветка не проходит через станцию Лыжное.

Третий автобус отправляется в 9:00 и идет до конечной станции Островский — эта ветка проходит через станцию Лыжное и делает на ней остановку.

9:00 — 8:18 = 0:42 (мин) — придется ждать до отправления

Ответ:

42 минуты


Часть 2


  1. Товар на распродаже уценили на 20%, при этом он стал стоить 680 р. Сколько стоил товар до распродажи?
Показать решение
Решение:

По условию:

  • товар уценили на 20%
  • товар стал стоить 680 р

100% — 20% = 80% — текущая стоимость товара

80% — 680 р

Найдем чему равен 1%

680 : 80 = 85

Теперь узнаем стоимость товара до распродажи:

85 * 100% = 850 (р)

Ответ:

850


  1. Расположите числа в порядке возрастания: √31; √(5,2)2; 4√2; 2√7; 5,3. Обоснуйте ответ.
Показать решение
Решение:

Представим 4√2 в другом виде 4 = √16, тогда:

√16 * √2 = √16 * 2 = √32

Теперь представим 2√7 в другом виде: 2 = √4, тогда:

√4 * √7 = √4 * 7 = √28

Получаем:

√28 < √31 < √36

Преобразуем √(5,2)2 в другом виде:

√(5,2)2 = √27,04

Преобразуем 5,3 в другом виде:

5,3 = √(5,3)2 = √28,09

Теперь можем расставить все числа по порядку:

√27,04 (5,2) < √28 (2√7) < √28,09 (5,3) < √31 < √32 (4√2)

Всё просто без особых вычислений.

Ответ:

√(5,2)2 < 2√7 < 5,3 < √31 < 4√2


12.1 Биссектриса угла ∠BAD параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке N, а биссектрису DM (точка M лежит на стороне BC) угла ADC в точке O, причём точка O лежит вне параллелограмма ABCD. Периметр параллелограмма ABCD равен 22 и BN : NC = 2: 7. Найдите длину отрезка MN.

Показать решение
Решение:

VPR-mat-8-klass-2018-Ryazanovskiy-2-variant-05

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  • Биссектриса по определению делит угол пополам
  • Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник
    • в данном примере биссектриса угла ∠BAD (AN) отсекает равнобедренный треугольник ABN
    • а биссектриса угла ∠CDA (DM) отсекает равнобедренный треугольник DMC

Так как противоположные стороны параллелограмма равны AB || CD, то имеем

AB = BN = MC = CD = a

AD = BC = b

Известно, что отношения сторон BN/NC = 2/7, получаем

    \[ \frac{BN}{NC} = \frac{2}{7} \]

    \[ NC = BN : \frac{2}{7} = BN * \frac{7}{2} =  \frac{7BN}{2} \]

Исходя из этого, справедливо равенство:

BC = AD = b = BN + NC = BN + 7BN/2

Подставляя полученное значение в формулу периметра параллелограмма, получим:

P = 2a + 2b = AB + BC + CD + AD

Исходя из равенства AB = BN = MC = CD = a, мы заменим все стороны на BN:

BN + (BN + 7BN/2) + BN + (BN + 7BN/2) = 22

2BN + 2(BN + 7BN/2) = 22

2BN + 2BN.+ 14BN/2 = 22

4BN + 14BN/2 = 22

приводим к общему знаменателю (2)

8BN/2 + 14BN/2 = 22

22BN/2 = 22

11BN = 22

BN = 22 / 11 = 2

По условию отношение сторон BN : NC = 2: 7, полчаем:

2 : NC = 2: 7

2 : 7 = 2 : 7

NC = 7

Теперь найдем MN

MN = NC — MC = 7 — 2 = 5

Отрезок MN = 5

Ответ:

5


12.2 Центр окружности лежит на основании равнобокой трапеции, окружность касается другого основания и боковых сторон трапеции в их середине. Найдите углы трапеции.

Показать решение
Решение:

VPR-mat-8-klass-2018-Ryazanovskiy-2-variant-04На чертеже выше изображена окружность и трапеция согласно условия задачи.

Согласно условия мы можем сделать следующие заключения:

Трапеция равнобокая, значит AB = CD, OK = ON, ∠BAD = ∠ADC, ∠ABC = BCD, ∠OPN = 90°

OK — радиус круга и высота трапеции

точка М — центральное место пересечения (середина) стороны AB с кругом

точка N — центральное место пересечения (середина) стороны CD с кругом

Если M и N — середины боковых сторон соответсвенно AB и CD трапеции ABCD, тогда MN || AD.

O — центр окружности, К — точка касания с основанием BC, P — точка пересечения радиуса OK со средней линией MN.

Рассмотрим треугольник OPN

OP — катет, ON — гипотенуза

    \[ OP = \frac{1}{2} OK = \frac{1}{2} ON \]

Свойство прямоугольного треугольника: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30º.

Исходя из этого, получаем значение угла ∠PNO = 30º

Так как MN || AD, углы ∠PNO и ∠NOD — являются накрест лежащими и соответсвенно равны. Получаем ∠NOD = 30º.

Свойство касательных: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Соответсвенно отрезок ON (радиус) перпендикулярен отрезку CD (касательной), а значит угол ∠OND = 90º.

Свойство (прямоугольного) треугольника: сумма всех углов в треугольнике равна = 180°

В прямоугольном треугольнике OMD нам известны два угла ∠NOD = 30º и ∠OND = 90º. Найдем значение угла ∠ODN

∠ODN = 180º — ∠NOD — ∠OND = 180° — 90° — 30° = 60°

Свойства равнобокой трапеции:

  • Углы при любом основании равны — ∠BAD = ∠ADC, ∠ABC = ∠BCD
  • Сумма противоположных углов равна 180°: ∠BAD + ∠ABC = 180°;  ∠ADC,  + ∠BCD = 180°

Получаем,

∠ODN = ∠ADC = ∠BAD  = 60° — величина углов большого основания

∠ABC = 180° — ∠BAD = 180° — 60° = 120°

∠BCD = 180° — ∠ADC = 180° — 60° = 120°

Ответ:

60°, 60°, 120°, 120°


  1. Два насоса наполняют бассейн за 12 часов, причём за 4 часа первый насос наполняет бассейн на такую его часть, которую второй насос выполняет за 6 часов. За какое число часов один второй насос сможет полностью наполнить бассейн?
Показать решение
Решение:

Введем значения:

x — время заполнения бассейна первым насосом

y — время заполнения бассейна вторым насосом

1 — примем весь объем бассейна

По условию задачи имеем:

1/x + 1/y = 1/12 — объём заполняемый обоими насосами за 1 час

Также в условии говорится, что за 4 часа первый насос наполняет бассейн на такую его часть, которую второй насос выполняет за 6 часов. Получаем равенство

x/4 = y/6

Найдем из этого равенства значение x

x/4 = y/6

x = y/6 * 4 = 4y/6

Подставим полученный результат в первую формулу:

1/x + 1/y = 1/12

1 : 4y/6 + 1/y = 1/12

6/4у + 1/у = 1/12

Приведём к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель второй дроби на 4:

6/4у + 4/4у = 1/12

10/4у = 1/12

4y = 10 : 1/12 = 10 * 12 = 120

y = 120 : 4 = 30

Второй насос самостоятельно наполнит весь бассейн за 30 часов.

Ответ:

30 часов


14.1 При каких значениях параметра b уравнение 4x2 + bx + 4 = 0 имеет ровно один корень? Для каждого значения параметра b укажите соответсвующий корень уравнения.

Показать решение
Решение:

Корни квадратного уравнения зависят от знака дискриминанта (D): уравнение имеет 1 корень (или же 2 совпадающих вещественных корня) при D = 0. Значит,

D = b2 — 4ac = 0

b2 — 4ac = 0 (из условия имеем квадратное уравнение в котором a=4, c=4)

b2 — 4 * 4 * 4 = 0

b2 — 64 = 0

b2 = 64

b = √64 = 8

b= -8; b= 8

  1. Решим уравнение при b = -8

4x2 + bx + 4 = 0

4x2 + (-8)x + 4 = 0

4x2 — 8x + 4 = 0

(2x — 2)2 = 0

2x — 2 = 0

2x = 2

x = 2 / 2 = 1

Для значения параметра b = -8, корень уравнения будет x = 1

  1. Решим уравнение при b = 8

4x2 + bx + 4 = 0

4x2 + 8x + 4 = 0

(2x + 2)2 = 0

2x + 2 = 0

2x = -2

x = -2 / 2 = -1

Для значения параметра b = 10, корень уравнения будет x = -1

Ответ:

при b= -8, x = 1

при b= 8, x = — 1


14.2 При каких значениях параметра a уравнение (ax — 2) (x2 — 4x + 3) = 0 имеет ровно два корня? Для каждого значения параметра a укажите соответсвующие корни уравнения.

Показать решение
Решение:

(ax — 2) (x2 — 4x + 3) = 0

1) Рассмотрим данное уравнение при а = 0

(ax — 2) (x2 — 4x + 3) = 0

-2 * (x2 — 4x + 3) =0
-2x2 + 8x — 6 =0

Теперь найдем чему равен дискриминант (Дискриминант D квадратного трёхчлена ax2 + bx + c равен b2 — 4ac.)

-2x2 + 8x — 6 =0

здесь a = -2, b = 8, c = -6

D = b2 — 4ac = 82 — 4 * (-2) * (-6) = 64 — 48 = 16

мы помним, что общая формула для нахождения корней квадратного уравнения

    \[ x_1_,_2 = \frac{-b \pm  \sqrt{D}}{2a} \]

    \[ x_1 = \frac{-b +  \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 +  \sqrt{16}}{2 * (-2)} =  \frac{-8 + 4}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1 \]

    \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 -  \sqrt{16}}{2 * (-2)} =  \frac{-8 - 4}{-4} = \frac{-12}{-4} = 3 \]

При a = 0, имеем два корня: x = 1, x = 3.

2) рассмотрим первую часть уравнения (ax — 2) = 0

(ax — 2) = 0
ax — 2 = 0
ax = 2

Подставив в него полученные корни x = 1 и x = 3, получим

ax = 2
a * 1 = 2
a = 2

ax = 2
a * 3 = 2
a = 2/3

Имеем:

a = 2, a = 2/3

Найдем для каждого а корени уравнения.

(ax — 2) (x2 — 4x + 3) = 0

Для обоих а будет справедливым решение второй части уравнения

x2 — 4x + 3 = 0

D = b2 — 4ac = -42 — 4 * 1 * 3 = 16 — 12 = 4

    \[ x_1_,_2 = \frac{-b \pm  \sqrt{D}}{2a} \]

    \[ x_1 = \frac{-b +  \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) +  \sqrt{4}}{2 * 1} =  \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

    \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) -  \sqrt{4}}{2 * 1} =  \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

При a = 2, a = 2/3, имеем два корня: x = 1, x = 3.

Ответ:

При a = 0, x = 1, x = 3.

При a = 2, x = 1, x = 3.

При a = 2/3, x = 1, x = 3.