ВПР по математике 8 класс 2018 Вариант 1 с решениями

ВПР по математике за 8 класс 2018 года А.Р. Рязановский, Д.Г. Мухин — Вариант 1

При написании данной работы «ВПР по математике 8 класс 2018 Вариант 1» было использовано пособие «Всероссийская Проверочная Работа. Математика. 8 класс. Практикум. ФГОС. А.Р. Рязановский, Д.Г. Мухин. 2018 год (20 вариантов)«.

Часть 1

В заданиях 1-9 дайте ответ в виде целого числа, десятичной дроби или последовательности цифр.

Найдите значение выражения (x ^-2)⁵ · 3x¹¹, если x = 3

Показать решение

Решение:

Вспомним, что при возведении степень в степень — степени умножаются. А при умножении одинаковых оснований степени складываются.

(x ^-2)⁵ · 3x¹¹ = x ^-2·⁵ · 3x¹¹ = x ^-10 · 3x¹¹ = 3x^-10+11 = 3x¹ = 3x = 3 · 3 = 9

Ответ:

Найдите значение выражения:

$2\sqrt{25} - \sqrt{2} * \sqrt{8}$

Показать решение

Решение:

$2\sqrt{25} - \sqrt{2} * \sqrt{8} = 2 * 5 - \sqrt{2 * 8} = 10 - \sqrt{16} = 10 - 4 = 6$

Ответ:

3.1 Найдите сумму корней уравнения x² + 6x -7 = 0

Показать решение

Решение:

Для решения данного уравнения воспользуемся Теоремой Виета:

ax2 + bx + c = 0; D≥ 0; x₁ + x₂ = -b/a

значит,

x² + 6x -7 = 0

здесь a = 1, b = 6, c = 7

Искомая сумма корней уравнения равна:

x₁ + x₂ = -b/a = — (6 / 1) = -6

Ответ:

-6

3.2 Найдите наибольший корень уравнения 5x³ + 3x² — 2x = 0

Показать решение

Решение:

Для решения данного вынесем х за скобки:

5x³ + 3x² — 2x = 0

x (5x² + 3x — 2) = 0 или x = 0

5x² + 3x — 2 = 0

Теперь найдем чему равен дискриминант (Дискриминант D квадратного трёхчлена ax² + bx + c равен b² — 4ac.)

D = b² — 4ac = 3² — 4 * 5 * (-2) = 9 + 40 = 49

мы помним, что общая формула для нахождения корней квадратного уравнения

$x_1_,_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 * 5} = \frac{-3 + 7}{10} = \frac{4}{10} = 0,4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 * 5} = \frac{-3 - 7}{10} = \frac{-10}{10} = -1$

Наибольшим корнем из полученных является х₁ = 0,4

Ответ:

х₁ = 0,4

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С проведена средняя линия MN, параллельная катету AC. Найдите длину MN, если

$AB = \sqrt{136} , BC = 10$

VPR-mat-8-klass-2018-Ryazanovskiy-1-variant-01

Показать решение

Решение:

Дано:

AB = √136

BC = 10

Свойство средней линии: Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. В нашей задаче это стороны АВ и ВС.

Из этого следует:

CN = NB = 10 : 2 = 5

AM = MB = √136 : 2

Известно, что средняя линия (MN) треугольника параллельна одной из его сторон (АС) и равна половине этой стороны (АС).
Следует, что ΔMNB — прямоугольный, а его катет MN является средней линией ΔАВС.

Нам следует найти катет MN по теореме Пифагора:

В прямоугольном треугольнике, длины катетов которого равны a и b , а длина гипотенузы — c, выполняется условие: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = c^2$

$MN^2 + NB^2 = MB^2$

Отсюда найдем MN

$MN^2 = MB^2 - NB^2 = (\sqrt{136} : 2)^2 - 5^2}$

$MN = \sqrt{( \sqrt{136} : 2)^2 - 5^2}$

$MN = \sqrt{(136 : 4) - 25}$

$MN = \sqrt{34 - 25} = \sqrt{9} = 3$

Длина катета MN = 3

Ответ:

Выберите верные утверждения:
1. Сумма углов трапеции, прилежащих к её меньшему основанию, равна 180⁰
2. В равнобедренном треугольнике высоты, проведённые к боковым сторонам равны.
3. Если касательная к окружности перпендикулярна хорде, проходящей через точку касания, то эта хорда — диаметр окружности.
4. Существует четырёхугольник с четырьмя острыми углами.

Показать решение

Решение:

Неверно. Свойство, которое присуще трапеции любого вида: сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180⁰
Верно. Это доказуемая теорема.
Верно.
Неверно.

Ответ:

2, 3

6.1 В программе по математике 50 вопросов, из которых 12 на тему «Прогрессии». Вася случайно выбрал билет. Какова вероятность того, что в билете нет вопроса о прогрессиях?

Показать решение

Решение:

12 : 50 = 0,24 — вероятность того, что вопрос о прогрессиях в билете есть

Известно, что все противоположные события образуют группу событий, сумма вероятностей которых = 1.

Тогда,

1 — 0,24 = 0,76 — вероятность того, что в билете нет вопроса о прогрессиях

Ответ:

0,76

6.2 В высотном доме 3 лифта. Для каждого лифта вероятность того, что он находится на первом этаже, равна 0,5. Найдите вероятность того, что хотя бы один лифт находится на первом этаже.

Показать решение

Решение:

Способ 1:

Известно, что все противоположные события образуют группу событий, сумма вероятностей которых = 1.

Для каждого лифта существует две вероятности:

лифт находится на первом этаже и данная вероятность по условию задачи = 0,5
лифт не находится на первом этаже

В таком случае вероятность вероятность отсутствия каждого лифта в отдельности на первом этаже равна:

Первый лифт: 1 — 0,5 = 0,5

Второй лифт: 1 — 0,5 = 0,5

Третий лифт: 1 — 0,5 = 0,5

Если брать все лифты вместе, то по правилу произведения событий «Ни один из лифтов не находится на первом этаже» получим:

0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125 — вероятность отсутствия всех лифтов на первом этаже

Отсюда найдем чему будет равна вероятность события «хотя бы один лифт находится на первом этаже»:

1 — 0,125 = 0,875

Способ 2:

Определение: Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу

P(A) = m/n

Давайте посчитаем с вами все возможные события, которые могут произойти с 3 лифтами:

— — —
— — +
— + —
+ — —
— + +
+ — +
+ + —
+ + +

Где (+-) — это наличие или отсутсвие лифта на первом этаже

В нашем случае существует всего 8 всех равновозможных несовместных элементарных исходов.

Случаев, когда хотя бы один лифт находятся на первом этаже = 7.

Получаем:

P(A) = m/n = 7/8 = 0,875

Ответ:

0,875

У дедушки на даче несколько вёдер объёмом 8 л и 15 л. Каким может быть объём бочки, которую дедушка может наполнить до краёв без переполнения бочки, налив 5 полных вёдер?
1. 40 л
2. 60 л
3. 80 л
4. 100 л

Показать решение

Решение:

Минимальный возможный объём бочки:

8 * 5 = 40 (л)

Максимально возможный объём бочки:

15 * 5 = 75 (л)

Итак, дед может заполнить 5 вёдрами бочку объёмом от 40 до 75 литров.

Ответы 3 и 4 не подходят, поскольку превышают возможный объем бочки. А ответ 1 полностью совпадает.

Ответ:

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ:

VPR-mat-8-klass-2018-Ryazanovskiy-1-variant-02

ФОРМУЛЫ:

y = 1,5x
y = x²
y = 0,5x
y = 2/x

Запишите в ответ выбранные цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А	Б	В

Для удобства, воспользуйтесь инструментом построения графиков онлайн на нашем сайте

Показать решение

Решение:

y = 1,5x — уравнение прямой
y = x² — уравнение параболы, ветви которой направленны вверх
y = 0,5x — уравнение прямой
y = 2/x — уравнение гиперболы

Мы выяснили, что:

графику функции А соответсвует формула 2
графику функции Б соответсвует формула 4

На графике В изображена прямая, но и формулы 1 и 3 соответствуют прямым. Поэтому здесь необходимо сделать несколько контрольных вычислений:

x1 = -2, x2 = 0, x3 = 2

y1 = 0,5 * x1 = 0,5 * -2 = -1

y2 = 0,5 * x2 = 0,5 * 0 = 0

y3 = 0,5 * x3 = 0,5 * 2 = 1

Графику функции В соответствует формула 3

Ответ:

А	Б	В
2	4	3

Василий подошёл к расписанию автобусов в 7:12 в посёлке Городище. Ему нужно доехать до станции Дубки. Сколько минут ему придётся ждать до отправления первого автобуса, который останавливается на станции дубки?

VPR-mat-8-klass-2018-Ryazanovskiy-1-variant-03

Показать решение

Решение:

Первый автобус отправляется в 7:20, но идет до конечной станции Топь — эта ветка не проходит через станцию Дубки.

Второй автобус отправляется в 7:22, но идет до конечной станции Глубокое — эта ветка не проходит через станцию Дубки.

Третий автобус отправляется в 7:30, и идет до конечной станции Космодемьянск — эта ветка проходит через станцию Дубки и делает на ней остановку.

7:30 — 7:12 = 0:18 (мин) — придется ждать до отправления

Ответ:

18 минут

Часть 2

По результатам проведённого соцопроса 15% школьников ответили, что они из многодетных семей. Сколько всего учеников в данной школе, если 510 учеников ответили, что они не из многодетных семей?

Показать решение

Решение:

По условию:

школьников из многодетных семей = 15%
школьников не из многодетных семей = 510

Всего в школе 100% учеников. Значит, процентное количество школьников не из многодетных семей равно

100% — 15% = 85% — школьников не из многодетных семей

85% = 510 учеников

Тогда найдем чему равно 100% школьников

510 : 85 * 100 = 600 (ш) — всего школьников в данной школе

Ответ:

600

Расположите числа в порядке убывания: √31; √43; 4√2; 2√7; 5. Обоснуйте ответ.

Показать решение

Решение:

√43 > 4√2 > √31 > 2√7 > 5

Попробуем обосновать:

Имеем, 5 = √25. Уже исходя из этого можем сделать следующую расстановку требуемую в условии:

√43 > √31 > √25 (или 5)

Представим 4√2 в другом виде 4 = √16, тогда:

√16 * √2 = √16 * 2 = √32

Теперь представим 2√7 в другом виде: 2 = √4, тогда:

√4 * √7 = √4 * 7 = √28

Теперь можем расставить все числа по порядку:

√43 > √32 (4√2) > √31 > √28 (2√7) > √25 (5)

Всё просто без особых вычислений.

Ответ:

√43 > 4√2 > √31 > 2√7 > 5

12.1 Биссектриса угла ∠BAD параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке N, а биссектрису DM (точка M лежит на стороне BC) угла ADC в точке O, причём точка O лежит внутри параллелограмма ABCD. Периметр параллелограмма ABCD равен 64 и BN : NC = 7: 2. Найдите длину отрезка MN.

Показать решение

Решение:

Свойства биссектрисы параллелограмма:

Биссектриса по определению делит угол пополам
Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник
- в данном примере биссектриса угла ∠BAD (AN) отсекает равнобедренный треугольник ABN
- а биссектриса угла ∠CDA (DM) отсекает равнобедренный треугольник DMC

Так как противоположные стороны параллелограмма равны AB || CD, то имеем

AB = BN = MC = CD = a

AD = BC = b

Известно, что отношения сторон BN/NC = 7/2, получаем

$\frac{BN}{NC} = \frac{7}{2}$

$NC = BN : \frac{7}{2} = BN * \frac{2}{7} = \frac{2BN}{7}$

Подставляя полученное значение в формулу периметра параллелограмма, получим:

P = 2a + 2b = AB + BC + CD + AD

Исходя из равенства AB = BN = MC = CD = a, мы заменим все стороны на BN:

BN + (BN + 2BN/7) + BN + (BN + 2BN/7) = 64

2BN + 2(BN + 2BN/7) = 64

2BN + 2BN.+ 4BN/7 = 64

4BN + 4BN/7 = 64

приводим к общему знаменателю (7)

28BN/7 + 4BN/7 = 64

32BN/7 = 64

32BN = 64 * 7 = 448

BN = 448 / 32 = 14

По условию отношение сторон BN : NC = 7: 2, полчаем:

14 : NC = 7: 2

14 : 4 = 7 : 2

NC = 4

Так как BN = MC = 14, то найдем MN

MN = MC — NC = 14 — 4 = 10

Отрезок MN = 10

Ответ:

12.2 Серединный перпендикуляр к диагонали прямоугольника делит его сторону на части, одна из которых в два раза больше другой. Найдите градусные меры углов между этой диагональю и сторонами прямоугольника.

Показать решение

Решение:

Имеем прямоугольник ABCD. Проведем в нём диагонали. Точку пересечения обозначим буквой O.

Известно, что диагонали в прямоугольнике равны, а значит точка О делит каждую диагональ пополам — BO=OD=AO=OC.

Требуется провести серединный перпендикуляр к диагонали. Проведем перпендикуляр ON перпендикулярно диагонали BD.

По условию задачи перпендикуляр ON делит сторону AD на две части, одна из которых в два раза больше другой. Если AN=a, то ND=2a.

Соединив точки N и B, мы получаем равнобедренный треугольник NBD, в котором стороны BN=ND=2a, а ON является высотой и медианой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВN в котором сторона ВN=2АN=2a.

Свойство прямоугольного треугольника: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30º.

Данное свойство соответствует нашему случаю. Соответсвенно угол ∠ABN = 30°

Свойство (прямоугольного) треугольника: сумма всех углов в треугольнике равна = 180°

Теперь зная величину угла ∠ABN, рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Нам известно, что его угол ∠DAB — прямой и равен 90°. Также нам известно, что ∠ABD состоит из двух углов — ∠ABN и ∠NBD, причем значение угла ∠ABN мы уже знаем = 30°

Получаем,

180° — 90° — 30° = 60° — это сумма двух оставшихся углов ∠NBD и ∠BDN

Данные углы являются противоположными углами равнобедренного треугольника NBD. А нам известно, что противоположные углы в равнобедренном треугольнике равны. Значит:

60° : 2 = 30° — значение углов ∠NBD и ∠BDN

Итак, мы нашли градусную меру первого угла между диагональю стороной прямоугольника AD. Чтобы найти значение второго угла, необходимо:

∠NDC — ∠BDN = 90° — 30° = 60°

Итак, градусные меры углов между диагональю и сторонами прямоугольника составляют 30° и 60°

Ответ:

30°, 60°

Два насоса наполняют бассейн за 9 часов, причём за 1 час первый насос наполняет бассейн на такую его часть, которую второй насос выполняет за два часа. За какое число часов один второй насос сможет полностью наполнить бассейн?

Показать решение

Решение:

По условию:

Насос I качает за час — 2х

Насос II качает за час — x

Время наполнения = 9 часов

За 1 час два насоса наполняют 1/9 от объёма всего бассейна.

Получаем:

x + 2x = 1/9

3x = 1/9

3x * 9 = 1

27x = 1

x = 1/27 — второй насос наполняет за 1 час

Если второй насос за час наполняет 1/27 объёма всего бассейна, значит ему потребуется 27 часов, чтобы самостоятельно наполнить весь бассейн.

Ответ:

27 часов

14.1 При каких значениях параметра b уравнение x² + bx + 25 = 0 имеет ровно один корень? Для каждого значения параметра b укажите соответсвующий корень уравнения.

Показать решение

Решение:

Корни квадратного уравнения зависят от знака дискриминанта (D): уравнение имеет 1 корень (или же 2 совпадающих вещественных корня) при D = 0. Значит,

D = b² — 4ac = 0

b² — 4ac = 0 (из условия имеем квадратное уравнение в котором a=1, c=25)

b² — 4 * 1 * 25 = 0

b² — 100 = 0

b² = 100

b = √100 = 10

b₁= -10; b₂= 10

Решим уравнение при b = -10

x² + bx + 25 = 0

x² + (-10)x + 25 = 0

x² — 10x + 25 = 0

(x — 5)² = 0

x = 5

Для значения параметра b = -10, корень уравнения будет x = 5

Решим уравнение при b = 10

x² + bx + 25 = 0

x² + 10x + 25 = 0

(x + 5)² = 0

x = — 5

Для значения параметра b = 10, корень уравнения будет x = -5

Ответ:

при b₁= -10, x = 5

при b₂= 10, x = — 5

14.2 При каких значениях параметра a уравнение (x — 2) (ax² + 4x + 4) = 0 имеет ровно два корня? Для каждого значения параметра a укажите соответсвующие корни уравнения.

Показать решение

Решение:

(x — 2) (ax² + 4x + 4) = 0

1) Рассмотрим данное уравнение при а = 0

(x — 2) (ax² + 4x + 4) = 0

(x — 2) =0
x — 2 = 0
x = 2

(ax² + 4x + 4) = 0
4x + 4 = 0
4x = -4
x = -4/4 = -1

При a = 0, имеем два корня: x = -1, x = 2.

2) Рассмотрим данное уравнение при а ≠ 0

Так как первый множитель (первая скобка) в любом случае дает корень x = 2 (первый корень уравнения), то второй множитель (вторая скобка) должен иметь только один корень — это условие задачи — найти те а, при которых уравнение имеет только два корня.

Квадратное уравнение может иметь один корень, только если дискриминант равен D = 0.

(ax² + 4x + 4) = 0

D = b² — 4ac = 0

b² — 4ac = 4² — 4 * a * 4 = 16 — 16a

16 — 16a = 0
16 = 16a
-16a = -16
a = 16 / 16 = 1

Найдем второй корень уравнения при a = 1

$x_2 = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 * 1} = \frac{-4}{2} = -2$

При a = 1, имеем два корня: x = 2, x = -2.

3) квадратное уравнение (ax² + 4x + 4) = 0 имеет 2 корня, один их которых, как мы упоминали выше равен 2:

(ax² + 4x + 4) = 0

(a2² + 4 * 2 + 4) = 0
4a + 8 + 4 = 0
4a + 12 = 0
4a = -12
a = -12 / 4 = -3

Найдем второй корень уравнения при a = -3

$x_2 = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 * (-3)} = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3}$

При a = -3, имеем два корня: x = 2, x = 2/3.

Ответ:

При a = 0, x = -1, x = 2.

При a = 1, x = -2, x = 2.

При a = -3, x = 2, x = 2/3.