ОГЭ по математике 2018. Вариант 1

ОГЭ по математике 9 класс 2018 года под редакцией И. В. Ященко — Вариант №1

При написании данной работы «ОГЭ по математике 2018. Вариант 1» было использовано пособие «ОГЭ 2018. Математика. 14 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ / И. Р. Высоцкий, Л. О. Рослова, Л. В. Кузнецова, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Р. К. Гордин, А. С. Трепалин, А. В. Семенов, П. И. Захаров; под редакцией И. В. Ященко. — М.: Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2018″.

Часть 1

Модуль «Алгебра»


  1. Найдите значение выражения

        \[\frac{3}{4} + \frac{7}{25}\]

Решение:

Чтобы сложить две дроби, их необходимо привести к общему знаменателю. В данном случае — это число 100:

    \[ \frac{3}{4} + \frac{7}{25} = \frac{3 * 25}{4 * 25} + \frac{7 * 4}{25 * 4} = \frac{75}{100} + \frac{28}{100} = \frac{75 + 28}{100} = \frac{103}{100} = 1,03 \]

Ответ:

1,03


  1. В нескольких эстафетах, которые проводились в школе, команды показали следующие результаты.
Команда I эстафета, баллы II эстафета, баллы III эстафета, баллы IV эстафета, баллы
«Удар» 3 3 2 4
«Рывок» 1 4 4 2
«Взлёт» 4 2 1 3
«Спурт» 2 1 3 1

При подведении итогов баллы каждой команды по всем эстафетам суммируются. Побеждает команда, набравшая наибольшее количество баллов. Какая команда заняла третье место?

  1. «Удар»
  2. «Рывок»
  3. «Взлёт»
  4. «Спурт»
Решение:

В первую очередь суммируем баллы, набранные каждой командой

«Удар» = 3 + 3 + 2 + 4 = 12
«Рывок» = 1 + 4 + 4 + 2 = 11
«Взлёт» = 4 + 2 + 1 + 3 = 10
«Спурт» = 2 + 1 + 3 + 1 = 7

Судя по результату: первое место у команды «Удар», второе — у команды «Рывок», а третье — у команды «Взлёт».

Ответ:

Третье место заняла команда «Влёт», номер 3.


  1. На координатной прямой точки A, B, C и D соответсвуют числам: -0,74; -0,047; 0,07; -0,407 .

OGE-mat-2018-TTZ-1-variant-1

Какой точке соответствует число -0,047 ?

  1. A
  2. B
  3. C
  4. D
Решение:

На координатной прямой положительные числа находятся справа от начала координат, а отрицательные — слева. Значит единственное положительное число 0,07 соответсвует точке D. Самое большое отрицательное число — это -0,74, а значит оно соответсвует точке А. Учитывая, что оставшееся число -0,047 больше числа -0,407, то и принадлежат они точкам C и D соотвественно. Отобразим это на чертеже:

OGE-mat-2018-TTZ-1-variant-2

Ответ:

Число -0,047 соответсвует точке С, номер 3.


  1. Найдите значение выражения

    \[ \sqrt{64} + (\sqrt{6,4})^2 \]

Решение:

В данном примере необходимо проявить смекалку. Если корень из 64 равен 8, поскольку 82 = 64, то корень из 6,4 найти простым путём достаточно сложно. Однако, после нахождения корня из числа 6,4 его нужно тут же возвести в квадрат. Таким образом, два действия: нахождение квадратного корня и возведение в квадрат аннулируют друг друга. Поэтому получаем:

    \[ \sqrt{64} + (\sqrt{6,4})^2 = 8 + 6,4 = 14,4 \]

Ответ:

14,4


  1. На графике изображена зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На горизонтальной оси отмечена высота над уровнем моря в километрах, на вертикальной — давление в миллиметрах ртутного столба. Определите по графику, на какой высоте атмосферное давление равно 140 миллиметрам ртутного столба. Ответ дайте в километрах.
Решение:

Найдем на графике линию соответствующую 140 мм ртутного столба. Далее определим место её пересечения с кривой зависимости атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На графике прекрасно видно это место пересечения. Проведем от точки пересечения вниз прямую до шкалы высот. Искомая величина 11 километров.

OGE-mat-2018-TTZ-1-variant-3

Ответ:

Атмосферное давление равно 140 миллиметрам ртутного столба на высоте 11 километров.


  1. Решите уравнение x2 + 6 = 5х

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ напишите меньший из корней.

Решение

x2 + 6 = 5х

Перед нами обычное квадратное уравнение:

x2 + 6 — 5х = 0

Для его решения необходимо найти дискриминант:

D = b2 — 4ac

D = 25 — 24=1

х1 = 5 — 1/2 = 2

х2 = 5 + 1/2 = 3

х = 2,3.

Ответ

Наименьший корень данного уравнения: 2


  1. Поступивший в продажу в феврале мобильный телефон стоил 2800 рублей. В сентябре он стал стоить 2520 рублей. На сколько процентов снизилась цена на мобильный телефон в период с февраля по сентябрь?
Решение

Итак, 2800 рублей — 100%

2800 — 2520 = 280 (р) — сумма на которую подешевел телефон

280 / 2800 * 100 = 10 (%)

Ответ

Цена на мобильный телефон в период с февраля по сентябрь снизилась на 10%


  1. На диаграмме представлены семь крупнейших по площади территории (в млн км2) стран мира.

OGE-mat-2018-TTZ-1-variant-4

Какие из следующих утверждений неверны?

1) Канада — крупнейшая по площади территории страна мира.
2) Площадь территории Индии составляет 3,3 млн км2.
3) Площадь территории Китая больше площади территории Австралии.
4) Площадь территории Канады больше площади территории США на 1,5 млн км2.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

Исходя из графика, Канада уступает по площади России, а значит первое утверждение неверное.

Над гистограммой Индии указана площадь 3,3 млн км2, что соответсвует второму утверждению.

Площадь территории Китая согласно графика равна 9,6 млн км2, а площадь Австралии — 7,7 млн км2, что соответсвует утверждению в третьем пункте.

Площадь территории Канады равна 10,0 млн км2, а площадь США — 9,5 млн км2, т.е. почти равны. А значить утверждение 4 неверное.

Ответ

14


  1. В каждом двадцать пятом пакете сока согласно условиям акции под крышкой есть приз. Призы распределены случайно. Вера покупает пакет сока. Найдите вероятность того, что Вера не найдет приз в своём пакете.
Решение

Решение данной задачи основано на классической формуле определения вероятности:

    \[ P(A) = \frac{m}{n} \]

где, m — число благоприятных исходов события, а n — общее количество исходов

Получаем

    \[ P(A) = \frac{1}{25} = 0.04 \]

Таким образом, вероятность того, что Вера не найдёт приз составит 24/25 или

    \[ 1 - 0,04 = 0,96 \]

Ответ

Вероятность того, что Вера не найдёт приз составит 0,96


  1. Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции:

А)

    \[ y = -\frac{12}{x}   \]

 Б)  

    \[ y = \frac{1}{12x}    \]

 В)  

    \[ y = \frac{12}{x} \]

Графики:

OGE-mat-2018-TTZ-1-variant-5

В таблице под каждой буквой укажите соответсвующий номер.

Решение
  1. Изображённая на рисунке 1 гипербола расположена во второй и четвёртой четвертях, следовательно, данному графику может со­от­вет­сво­вать функция А. Выполним проверку: a) при х = -6,  y = -(12/-6) = 2; б) при х = -2, y = -(12/-2) = 6; в) при х = 2, y = -(12/2) = -6; г) при х = 6,  y = -(12/6) = -2. Что и требовалось доказать.
  2. Изображённая на рисунке 2 гипербола расположена в первой и третьей четвертях, следовательно, данному графику может со­от­вет­сво­вать функция Б. Выполнение проверки проведите самостоятельно, по аналогии с первым примером.
  3. Изображённая на рисунке 3 гипербола расположена в первой и третьей четвертях, следовательно, данному графику может со­от­вет­сво­вать функция В. Выполним проверку: a) при х = -6,  y = (12/-6) = -2; б) при х = -2, y = (12/-2) = -6; в) при х = 2, y = (12/2) = 6; г) при х = 6,  y = (12/6) = 2. Что и требовалось доказать.
Ответ

А — 1 ; Б — 2 ; В — 3


  1. Арифметическая прогрессия (an) задана условиями:

a1 = -9, an+1 = an + 4.

Найдите сумму первых шести её членов.

Решение

a1 = -9, an+1 = an + 4.

an + 1=an + 4 ⇒ d = 4

an = a1 + d(n-1)

a6 = a1 + d(n-1) = –9 + 4(6 – 1) = –9 + 20 = 11

S6 = (a1 + a6)∙6 / 2

S6 = (a1 + a6)∙3

S6 = ( –9 + 11)∙3 = 6

Ответ

6


  1. Найдите значение выражения

    \[ (2 + c)^2 - c(c - 4) \]

при

    \[  c = -\frac{1}{8}   \]

Решение

Раскрываем скобки. Не забываем, что первая скобка — это квадрат суммы.

    \[ (2 + c)^2 - c(c - 4 ) = 4 + 4c + c^2 - c^2 + 4c = 4 + 8c \]

при

    \[c=-1/8 \]

    \[ 4 + 8(-\frac{1}{8}) = 4 - \frac{8}{8} = 4 - 1 = 3 \]

Ответ

3


  1. Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле

    \[ S = \frac{d_1d_2sin a}{2} \]

где d1 и d2 — длины диагоналей четырёхугольника, a — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d2, если

    \[ d_1 = 7, sin a = \frac{6}{11}, S = 21 \]

Решение

    \[ d_2 = \frac{2S}{d_1 sin a} = \frac{2 * 21}{7 * \frac{6}{11}} = \frac{42}{ \frac{42}{11}} \]

Помните правило, если у нас трёх-этажная дробь, то нижнее значение переносится наверх

    \[ \frac{42}{ \frac{42}{11}} = \frac{42 * 11}{42} = 11 \]

Ответ

11


  1. Укажите решение неравенства

    \[ 6 - 7x \le 3x -7 \]

    \[ 1) [0,1; +\infty); \]

    \[ 2) (-\infty;1,3]; \]

    \[ 3) [1,3;+\infty); \]

    \[ 4) (-\infty;0,1] \]

Решение

Для решения данного неравенства необходимо сделать следующее:

а) перенесём член в левую часть неравенства, а 6 — в правую часть, не забыв поменять знаки на противоположные. Получим:

    \[ -3x - 7x \le -7 - 6 \]

    \[ -10x \le -13 \]

б) Умножим обе части неравенства на отрицательное число -1 и заменим знак неравенства на противоположный.

    \[ -10x(-1) \le -13(-1) \]

    \[ 10x \ge 13 \]

в) найдём значение х

    \[ x \ge 13:10 \]

    \[ x \ge 1,3 \]

г) множеством решений данного неравенства будет числовой промежуток от 1,3 до +∞, что соответсвует ответу 3)

Ответ

3


Модуль «Геометрия»


  1. Пожарную лестницу длиной 17 м приставили к окну шестого этажа дома. Нижний конец лестницы стоит от стены на 8 м. На какой высоте расположено окно? ответ дайте в метрах.
OGE-mat-2018-TTZ-1-variant-6Решение

На рисунке мы видим обычный прямоугольный треугольник состоящий из гипотенузы (лестница) и двух катетов (стена дома и земля. Для нахождения длины катета воспользуемся теоремой Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов c= a+ b2

отюда

    \[ a = \sqrt {c^2 - b^2} \]

    \[ a = \sqrt {17^2 - 8^2} = \sqrt {289 - 64} = \sqrt {225} = 15\]

Итак, окно расположено на высоте 15 метров

Ответ

15


  1. В треугольнике ∆ABC известно, что AB = 8, BC = 10,  AC = 14. Найдите cos∠ABC
Решение

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться теоремой косинусов. Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

OGE-mat-2018-TTZ-1-variant-7a2 = b2 + c2 – 2bc cosα

АС² = АВ² + ВС² — 2·АВ·ВС·cos∠ABC
14² = 8² + 10² — 2·8·10·cos∠ABC
196 = 64 + 100 — 160·cos∠ABC

160·cos∠ABC = 164 — 196
160·cos∠ABC = — 32
cos∠ABC = — 32 / 160 = -0,2

Ответ

cos∠ABC = -0,2


  1. На окружности с центром в точке О отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 15о. Длина меньшей дуги AB равна 48. Найдите длину большей дуги AB.
Решение

OGE-mat-2018-TTZ-1-variant-8Известно, что круг составляет 360о. Исходя из этого, 15о составляет:

360о / 15о = 24 — кол-во сегментов в круге по 15о

Итак, 15о составляют 1/24 часть всей окружности, значит оставшаяся часть круга:

    \[ \frac{24}{24} - \frac{1}{24} = \frac{23}{24}  \]

т.е. оставшиеся 345о (360о — 15о = 345о) составляют 23-ю часть всей окружности

Если длина меньшей дуги AB равна 48, то длина большей дуги AB составит:

48 * 23 = 1104

Ответ

1104


  1. В трапеции ABCD известно, что AB = CD, ∠BDA = 35о и ∠BDC = 58о. Найдите угол ∠ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение

OGE-mat-2018-TTZ-1-variant-9

По условию задачи перед нами равнобедренная трапеция. Углы в основании равнобедренной трапеции (верхнем и нижним) равны.

∠ADC = 35 + 58 = 93°
∠DAB = ∠ADC = 93°

Теперь рассмотрим треугольник ∆ABD в целом. Нам известно, что сумма углов треугольника равна 180 °. Отсюда:

∠ABD = 180 – ∠ADB – ∠DAB = 180 – 35 – 93 = 52 °.

Ответ

52°


  1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Решение

OGE-mat-2018-TTZ-1-variant-10Площадь треугольника равна произведению половины основания треугольника (a) на его высоту (h):

    \[ S = \frac{1}{2} a h  \]

где,

a — длина основания треугольника

h — высота треугольника.

Из рисунка мы видим, что основание треугольника равно 6 (клеткам), а высота — 3 (клеткам). Исходя из чего получаем:

    \[ S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} * 6 * 3 = \frac{1}{2} * 18 = \frac{18}{2} = 9 \]

Ответ

9


  1. Какое из следующих утверждений верно?
  1. Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
  2. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
  3. Сумма углов любого треугольника равна 360о.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Данное задание не является задачей. Вопросы, перечисленные здесь необходимо знать наизусть и уметь на них отвечать.

  1. Это утверждение абсолютно верно.
  2. Неверно, поскольку согласно свойствам равнобедренного треугольника у него может быть только одна медиана — это биссектриса, проведенная к основанию. Она же является и высотой треугольника.
  3. Неверно, поскольку сумма углов любого треугольника равна 180о.
Ответ

1


Часть 2

Модуль «Алгебра»


  1. Решите уравнение

    \[ x^2 - 3x + \sqrt{6 - x} = \sqrt{6 - x} + 28 \]

Решение

    \[ x^2 - 3x + \sqrt{6 - x} = \sqrt{6 - x} + 28 \]

Перенесем выражение √6-x с правой стороны в левую

    \[ x^2 - 3x + \sqrt{6 - x} - \sqrt{6 - x} = 28 \]

Сократим оба выражения √6-x

    \[ x^2 - 3x = 28 \]

Перенесём 28 в левую часть уравнения

    \[ x^2 - 3x - 28 = 0 \]

Перед нами обычное квадратное уравнение.

Область допустимых значений в данном случае составляет: 6 — х ≥ 0 ⇒ x ≤ 6

Для решения уравнения, необходимо найти дискриминант:

D = b2 — 4ac

D = 9 + 112 = 121 = 112

х1 = (3 + 11)/2 = 14/2 = 7 — не является решением

х2 = (3 — 11)/2 = -8/2 = -4

х = -4

Ответ

-4


  1. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 210 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 9 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 27 часов после отплытия из него.
Решение

Пусть

х — это собственная скорость теплохода, тогда

х + 4 — скорость теплохода по течению

х — 4 — скорость теплохода против течения

27 — 9 = 18 (ч) — время движения теплохода из пункта отправления в пункт назначения и обратно без учета стоянки

210 * 2 = 420 (км) — общее расстояние, пройденное теплоходом

Исходя из выше сказанного получим уравнение:

    \[ \frac{210}{x+4} + \frac{210}{x-4} = 18 \]

приводим к общему знаменателю и решаем:

    \[ \frac{210 (x-4)}{(x+4)(x-4)} + \frac{210(x+4)}{(x-4)(x+4)} = 18 \]

    \[ 210(x-4) + 210(x+4) = 18(x+4)(x-4) \]

    \[ 210x + 210x = 18(x^2 -16) \]

    \[ 420x = 18x^2 -288) \]

    \[ 18x^2 - 420x - 288 = 0\]

Для дальнейшего решения уравнения, необходимо найти дискриминант:

 

    \[ D = 420^2 - 4 * 18 * (-288) = 197 136 = 444^2 \]

 

    \[ x = \frac{ 420 \pm 444 }{2 * 18 }\]

    \[ x = \frac{ 420 + 444 }{36}\]

    \[ x = \frac{864}{36}\]

    \[ x = 24 \]

Собственная скорость теплохода составляет 24 км/ч

Ответ

24 км/ч


  1. Постройте график функции

    \[ y = \left\{ \begin{array}{crl} x^2 + 4x + 4 & x\ge-5,\\ -\frac {45}{x} &x<-5 \end{array}\ \]

и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком одну или две общие точки.

Решение

OGE-mat-2018-TTZ-1-variant-13
На рисунке выше изображены два графика, соответствующие представленным функциям:

y = x2 + 4x +4 (график, изображенный красной линией)

y = -45/x (график, изображенный синий линией)

Рассмотрим обе функции:

  1. y=x2+4x+4 на промежутке [–5;+∞) – это квадратичная функция, графиком является парабола, а=1 > 0 – ветви направлены вверх. Если мы её сократим по формуле квадрата суммы двух чисел, то получим: у=(х+2)2 – сдвиг графика влево на 2 единицы, что и видно из графика.
  2. у=–45/х – это обратная пропорциональность, график гипербола, ветви расположены во 2 и 4 четвертях.

На графике хорошо видно, что прямая у=m имеет с графиком одну общую точку при m=0 и m > 9 и две общие точки при m=9, т.е. ответ: m=0 и m≥9, проверяем:
Одна общая точка в вершине параболы y = x2 + 4x +4

x0 = -b/2a = -4/2 = -2

y0 = -22 + 4(-2) + 4 = 4 — 8 +4 = 0  ⇒ с = 0

Две общие точки при х = – 5 ; у = 9 ⇒ с = 9

Ответ

0; [9;+∞)


  1. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 24, а расстояние от центра окружности до хорд AB и CD равны соответсвенно 16 и 12.
Решение

OGE-mat-2018-TTZ-1-variant-11Треугольники ∆АОВ и ∆СОD являются равнобедренными.

AK = BK = AB / 2 = 24 / 2 = 12

Отрезки ОК и ОМ являются высотами и медианами.

По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, имеем

OB= OK+ BK2

OB= 162 + 122 = 256 + 144 = 400

OB = 20

Учитывая, что OB — это радиус, имеем:

OB = OA = OC = OD = 20

Из треугольника ∆СОМ по теореме Пифагора получаем:

CM2 = OC2 – OM2

CM2 = 202 – 122 = 400 – 144 = 256

CM = 16

CD = CM * 2 = 16 * 2 = 32

Длина хорды CD равна 32.

Ответ

32


  1. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что площади треугольников ∆AOB и ∆COD равны
Решение

OGE-mat-2018-TTZ-1-variant-14

Пусть AD — нижнее основание трапеции, а BC — верхнее, тогда AD>BC.

Найдем площади треугольников ∆ABD и ∆DCA:

S ∆ABD = 1/2 AD ∙ h1

S ∆DCA = 1/2 AD ∙ h2

Учитывая, что величина основания AD и высота обоих треугольников одинаковые, заключаем, что площади этих треугольников равны:

S ∆ABD = S ∆DCA

Каждый из треугольников ∆ABD и ∆DCA состоят из двух других треугольников:

S ∆ABO + S ∆AOD = S ∆ABD (сумма площадей внутренних треугольников S ∆ABO и S ∆AOD равна площади треугольника S ∆ABD)

S ∆DCO + S ∆AOD = S ∆DCA (сумма площадей внутренних треугольников S ∆DCO и S ∆AOD равна площади треугольника S ∆DCA)

Если площади треугольников S ∆ABD и S ∆DCA равны, то и сумма площадей их внутренних треугольников также равны. Отсюда получаем,:

S ∆ABO + S ∆AOD = S ∆DCO + S ∆AOD

в данном равенстве с обеих сторон фигурирует один и тот же треугольник — S ∆AOD, что позволяет нам сократить его. Получаем следующее равенство:

S ∆ABO = S ∆DCO

Что и требовалось доказать.

Ответ

S ∆ABO = S ∆DCO


  1. На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 9, MD = 6, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.
Решение

OGE-mat-2018-TTZ-1-variant-16

Для начала начертим треугольник и полуокружность, как сказано в условии задачи (рис.1).

Отметим точку пересечения окружности со стороной АС буквой F (рис.2)

BF — является высотой треугольника ∆ABC, так как для окружности ∠BFC — это вписанный угол, который опирается на дугу в 180° (BC — диаметр), следовательно:

∠BFC=180°/2=90°

Согласно теореме «о двух секущих», имеем: AF * AC = AM * AK

Теперь рассмотрим хорду MK.

Отрезок BC — это перпендикуляр к отрезку MK, проходящий через центр окружности, следовательно BC — это серединный перпендикуляр.

Это значит, BC делит хорду MK пополам, т.е. MD = KD = 6 (см. условие задачи)

Рассмотрим треугольники ∆AHF и ∆ACD.

Угол ∠DAC для обоих треугольников является общим.

А углы ∠AFH и ∠ADC равны, кроме того — это прямые углы.

Следовательно, согласно первому признаку подобия треугольников, данные треугольники подобны.

Отсюда, по определению подобия, мы можем записать: AC / AH = AD / AF => AC * AF = AD * AH

Ранее мы рассматривали равенство (по теореме двух секущих)  AF * AC = AM * AK, из которой получаем

AM * AK = AD * AH

AH = (AM * AK) / AD

Из рисунка находим:

AM = AD — MD = 9 — 6 = 3

AK = AD + KD = 9 + 6 =15

Отсюда:

AH = 3 * 15 / 9 = 45 / 9 = 5

Ответ: AH = 5

Ответ

5